A Modelagem do Processo pela Função Logística

Vimos anteriormente que a fase inicial de uma epidemia segue um crescimento dado pela função exponencial.

Na realidade, para se obter um modelo matemático da epidemia na totalidade, englobando suas várias fases, temos que considerar que após o período inicial de crescimento, numa segunda fase deve ocorrer um decrescimento até se chegar num patamar máximo.

A função Logística tem as características descritas acima e estudos epidemiológicos concluíram que processo completo da epidemia pode ser modelado pelo crescimento logístico.

A formula da função logística é dada pela seguinte expressão

$f(t) = \frac{c}{1 + a * e^{-bt} }$

onde $f(t)$ é o número de casos no tempo $t$ , a constante $b > 0$ e a capacidade máxima de $f$ é dada pelo valor limite $c$ .

Além disso, temos que o valor inicial de $f$ (i.e., o número de casos no começo do surto) é dado por $\frac{c}{(1+a)}$ e a taxa máxima de crescimento ocorre quando $t = \frac{\ln(a)}{b}$ e $f(t) = \frac{c}{2}$ .

Para exemplificar o uso da função logística como modêlo da evolução de uma epidemia, podemos supor um caso hipotético onde o número máximo de pessoas doentes é $1000$ (i.e., tamanho da população) e o processo começa com apenas uma pessoa doente, que pode infectar duas outras pessoas.

Dessa forma, colocamos na formula os seguintes valores: $c = 1000$ , $a = 999$ e $b = 2$ . O gráfico da função logística correspondente a simulação de um periodo de 10 dias (i.e., $t = 0, \ldots, 10$ ), pode ser visto na Figura 3, Note que a curva cresce de forma acelerada até perto de $t=3$ , onde começa a desacelerar para atingir o patamar de $1000$ .

Figura 3: Função logística (de Joos [2])

De posse desses conceitos o proximo passo é considerar como modelar matemáticamente a dinâmica da epidemia, o que veremos em seguida.

Referências

[2] Joos Korstanje. Modeling Logistic Growth, 2020b. URL https://towardsdatascience.com/modeling-exponential-growth-49a2b6f22e1f