O Processo Epidêmico e o Crescimento Exponencial

Depois dessas preliminares, voltamos ao entendimento do processo epidêmico, focando nos dois aspectos destacados: a disseminação e seu efeito ao longo do tempo. A disseminação de uma doença infecciosa se dá pelo contágio, através do qual um indivíduo infectado transmite a doença a outros indivíduos não-infectados da população. Quando a incidência da doença na população é pequena, temos uma situação endêmica e depois que o número de casos da doença cresce e ultrapassa um limite superior, temos uma situação epidêmica. Ou seja, a taxa de incidência define a gravidade do efeito da doença numa determinada comunidade e se, por acaso a disseminação se espalhar por vários países temos uma pandemia.

Qual é a relação do processo epidêmico com o crescimento exponencial? Em matemática, a exponencial é uma função da forma

$f(t) = a*b^t$

cujo gráfico pode ser visto na Figura 1 (onde $a = 1$ e $b = e = 2.71828\ldots$ ).

O crescimento exponencial é a forma como uma quantidade aumenta com o tempo segundo a função $f(t)$ , ou seja o parâmetro $t$ da função é o tempo e o seu valor a quantidade de interesse. Na equação $a * b^t$ , a constante $a$ é o valor inicial no tempo $t = 0$ , e a constante $b$ é o “fator de crescimento”. Uma característica da exponencial é que sua derivada (taxa de crescimento) é diretamente proporcional ao valor da função. Podemos ver isso, no caso de uma discretização de $t$ em intervalos de tempo unitários (i.e., $t = 1, 2, \ldots$ ). Temos então

$f(t+1) = a * b^{t+1} = a * b^t * b = f(t) * b$

A inversa da função exponencial $f=e^t$ é o logarítmo, denotado por $\log$ , devido a esse fato a função exponencial é também conhecida como anti-logarítmo. A função logarítmica desempenha papel importante em cálculos envolvendo a exponencial.

A relação da exponencial com a modelagem de epidemias é devido ao fato que, segundo estudos epidemiológicos, o primeiro período de um surto epidêmico segue um crescimento exponencial. Para ilustrar esse fato, consideramos um caso hipotético no qual, temos uma única pessoa infectada (i.e., $a = 1$ ) e cada pessoa infectada transmite a doença para duas outras pessoas (i.e., $b = 2$ ). Isso resulta na formula para essa epidemia $f(t) = 1 * 2^t$

Com essa fórmula, podemos calcular o valor de $f(t)$ para $t =1, \ldots, 14$ , obtendo assim o número de pessoas infectadas em cada intervalo. Vemos que, com um fator de crescimento de $2$ , teremos mais de $1600$ casos após 14 dias — como pode ser verificado na Tabela 1 e no gráfico da Figura 2 (baseado em Joos [1]).

Figura 2: Gráfico do crescimento exponencial com os dados da Tabela 1

Ocorre que, depois dessa fase inicial a evolução da propagação da epidemia deixa de seguir o modelo exponencial pois a população tem um tamanho finito e todos seus individuos são infectados de modo que o crescimento termina. Além disso, deve-se considerar que os individuos após contrair a doença eventualmente serão curados e deixarão de ser transmissores dela.

O modelo da evolução de uma epidemia segue a função logistica, que estudaremos a seguir.

Referências

[1] Joos Korstanje. Modeling Exponential Growth, 2020a. URL : https://towardsdatascience.com/modeling-exponential-growth-49a2b6f22e1f