Quais são os conceitos matemáticos necessários para entender a evolução de uma epidemia? Para poder identificá-los precisamos primeiro entender o fenômeno sanitário do processo epidêmico, i.e., como ele acontece no mundo real. Uma epidemia pode ser definida como a rápida disseminação de uma doença contagiosa para um grande número de pessoas de uma dada população num curto espaço de tempo. Dessa definição, destacamos “rápida disseminação … em um curto espaço de tempo“. A partir daí, podemos identificar dois conceitos matemáticos importantes relacionados com o processo epidêmico: crescimento exponencial ; e sistema dinâmico. O primeiro está relacionado com o aumento rápido de uma quantidade, enquanto o segundo diz respeito à evolução temporal.
Baseada nesses conceitos, a matemática proporciona instrumentos que potencialmente podem contribuir de maneira fundamental no estudo, contrôle e enfrentamento das epidemias. Esses instrumentos são, em última instância, modelos matemáticos que possibilitam entender e fazer predições sobre esse fenômeno através de simulações.
Várias áreas da Matemática estão envolvidas no desenvolvimento de modelos efetivos sobre as epidemias. Dentre elas, se destacam as áreas de Equações Diferenciais, Sistemas Dinâmicos, Probabilidade, Estatística, além da Ciência de Dados e Computação. Isto porque, o processo epidêmico se dá no mundo real e, como consequência, se torna necessário desenvolver modelos matemáticos abstratos que reflitam fidedignamente os aspectos relevantes do fenômeno concreto em questão. Nesse sentido, é importante enfatizar que como, em geral, não se tem acesso a todas as informações pertinentes do processo, faz-se uma amostragem (usando técnicas estatísticas) para obter um conjunto de dados que necessariamente contém algum grau de incerteza (mensurado probabilisticamente). Esses dados são incorporados em modelos da dinâmica do sistema (usando equações diferenciais) que permitem fazer simulações (por métodos computacionais).
O estudo descrito acima faz parte da Epidemiologia Matemática, um campo multidisciplinar que congrega especialistas das Ciências Médicas, Sociais e Matemáticas. Nesse contexto, estão reunidas a pesquisa e a prática. Nele, os modelos desenvolvidos tem um duplo papel: por um lado, deseja-se entender o fenômeno conceitualmente de maneira teórica — com isso valida-se o modelo que é usado para testar hipóteses; por outro lado, o objetivo real é poder interferir no processo de modo a controlar a epidemia — o que se faz com base em predições obtidas por simulações para subsidiar a tomada de decisões. No primeiro caso, trabalha-se sobre situações ideais usando dados hipotéticos. No segundo caso, utiliza-se uma série de amostras do processo em andamento que permitem fazer análises e extrapolações.
Para entender melhor esse processo é necessario conhecer os modelos matemáticos envolvidos, que analisaremos na sequência.